Betz’s Trick or Treat

Il trucco di Betz

 

 

ovvero:

 

perché a certa gente interessa tanto Betz, mentre ai cowboy interessa pochino?

La volta scorsa vi ho parlato della superficie magica, e della energia cinetica trasportata dal vento.

Il teorema di Betz, ci dice quale è la potenza massima che possiamo estrarre,nell’ipotesi che:

 

1)l’aria attraversi la superficie magica e ne esca rallentata

2)nella superficie magica ci sia un attuatore qualsiasi, che trasformi l’energia cinetica dell’aria in lavoro meccanico.

 

I più volenterosi (e studiosi) possono dare un’occhiata alla dimostrazione; i mandriani come me la possono saltare:

approfondimenti_Zanichelli_Pidatella

 

Il teorema di Betz ci dice che al massimo, noi potremo convertire in lavoro il 59% dell’energia cinetica del vento che attraversa la superficie nella quale è presente l’attuatore.

 

Quindi possiamo aggiungere alla nostra formuletta un ulteriore coefficiente pari circa a 0,6, che rappresenta il limite imposto dal teorema di Betz all’energia che posso estrarre dal vento.

 

Svolte le moltiplicazioni e usato 1,2kg/mc come densità dell’aria, avrò:

 

p=0,36v^3

 

Nella superficie magica ci può essere, ad esempio, un rotore eolico con un numero qualsiasi di pale, al limite anche infinito.

Anche nella realtà abbiamo rotori con un numero di pale molto variabile; basta cercare con Google “rotore eolico” e andare a vedere le immagini.

 

Il teorema di Betz, declinato nel caso dei rotori eolici, mi dice quindi che potrò convertire al massimo il 59% dell’energia cinetica del vento che attraversa la superficie dell’attuatore, che nel caso dei rotori eolici, è la superficie spazzata dalle pale.

 

Alcuni sostengono che il limite di Betz si enunci allo stesso modo anche per i Kitegen, ossia che potrò estrarre il 59% dell’energia che attraversa l’area spazzata dal Kitegen. Siccome il Kitegen durante le sue evoluzioni, spazza una grande area, secondo alcuni, il Kitegen potrà estrarre il 59% dell’energia del vento su questa grande area (e la produzione si impenna!).

Ma, udite udite, altri fanno di meglio: bufala per bufala (cercate nella pagina linkata “Il limite di Betz“), arrivano a sostenere che il KiteGen genererebbe molto di più,  supererebbe lo stesso limite di Betz (e la produzione scavalla!!)

 

Impossibile.

Impossibile persino che gli si possa applicare Betz al percorso effettuato, figurarsi superarlo. Ma andiamo con ordine:

La legge di Betz presuppone che in ogni momento, tutta la corrente d’aria che io considero, attraversi l’attuatore e ne esca rallentata

 

Questo è verosimile nel caso di un rotore eolico che si muova con una velocità di rotazione sufficientemente elevata. In questo caso, la velocità dell’aria a monte e a valle della superficie spazzata dalle pale, è sufficientemente omogenea in tutta la superficie della corrente di vento che stiamo considerando (più in basso c’è un disegnino…).

In questo caso possiamo legittimamente considerare la superficie spazzata dalle pale come la superficie della macchina alla quale applicare il teorema di Betz.

 

Nel caso del Kite, il vento è perturbato e rallentato solo nel Kite e in un suo piccolo intorno. Nel resto della superficie “spazzata” dal Kite, il vento è del tutto imperturbato.

 

In questo caso, il teorema di Betz si applica solo alla corrente d’aria che incide sul Kite in movimento, si espande intorno al Kite, rallenta e poi procede.

 

Se non ci fosse il Kite, questa corrente manterrebbe esattamente la stessa sezione trasversale del Kite. Quindi possiamo pensare che prima di essere perturbata, tale corrente abbia esattamente la stessa sezione trasversale del Kite. Questa è quindi l’area della corrente di vento che dobbiamo considerare, per applicare il teorema di Betz al Kite: l’area del Kite.

 

Applicare Betz all’area spazzata dal Kite, come si farebbe con i rotori eolici, è sbagliato.

 

A noi vaccari, il teorema di Betz interessa pochino, perché in fin dei conti non ci cambia gli ordini di grandezza del problema. Introduce giusto un fattore 0,6.

Ad altri, il teorema di Betz interessa molto, ma lo applicano sempre in maniera erronea, all’area spazzata dal Kite nelle sue evoluzioni. In questo modo ottengono previsioni di resa uno o anche due ordini di grandezza superiori alla resa effettiva di un KiteGen (per non parlare di quelli che fanno gli stessi conti sostenendo che l’area percorsa è l’area spazzolata -quindi come si trattasse della stessa area interessata da una turbina, primo miracolo, a cui però, come secondo miracolo, non si applicherebbe più il limite di Betz, moltiplicando arbitrariamente il conto già astronomico di suo)

 

Once again: who cares about Betz? La parte predominante dell’imbroglio, infatti, è proprio nel concetto di “area spazzolata”…

 

il concetto di base è che la velocità del vento a monte della superficie di Betz deve essere tutta uguale a V1 su tutta la superficie.

 

Analogamente, la velocità del vento a valle della superficie di Betz deve essere tutta uguale alla velocità più bassa, ovvero V2.

 

Basta guardare il disegno:

BetzTrick

Se ho un rotore monopala fermo o quasi, il discorso sulle velocità del vento in ingresso e in uscita è vero per l’aria che colpisce la pala, e non per il cerchio descritto dalla pala – è una cosa verificabile con un semplice anemometro – quindi la superficie di Betz nel caso di monopala quasi ferma è…la pala stessa.

 

Se la stessa pala girasse a 100 giri al secondo, con velocità periferiche mostruosamente più veloci del vento, mi troverei ad avere un flusso di aria dove la velocità:

 

vale V1 su tutta vena fluida prima della superficie descritta dalla pala,

e vale V2 su tutta la superficie dopo.

 

Quindi in questo caso l’area spazzata (dalla pala) ha i requisiti per essere superficie di Betz.

Un anemometro è sufficiente a dimostrarlo (come per certi altri claim basterebbe un calorimetro anziché conteggi particolari, ma ancora non piove, quindi questo lo rimandiamo)

 

Il Kite si muove descrivendo una superficie anulare ortogonale al vento. In tutta questa superficie V1(in)=V2(out) eccetto in un intorno del Kite. Si verifica sempre con un anemometro.

 

Posso solo applicare Betz alla vena fluida che colpisce il Kite. Il Kite, in se, può scatenare tutti gli effetti che vuole, ma non può fare di più di quanto previsto da Betz per la vena fluida che colpisce il Kite.

 

Analogamente, si verifica con un anemometro che prima di un rotore eolico che gira veloce, V=V1 in tutta la vena in entrata, e V=V2 in tutta la vena in uscita. Quindi si può applicare Betz alla superficie spazzata dalle eliche. Caso più unico che raro.

 

Immaginiamo il Kite come un aliante che teniamo al guinzaglio e ruota in cerchio o disegnando degli otto.

L’ aliante si muoverebbe ad alta velocità sulla circonferenza provocando una spinta verso l’alto dell’ala, la quale ala, per come è costruita, tende ad allontanarlo da noi che lo teniamo.

 

La potenza massima che posso estrarne è data dalla velocità con cui cerca di allontanarsi nella direzione del vento, moltiplicato per la forza di trazione.

 

Il massimo si ha quando l’aliante si allontana ad 1/3 della velocità reale del vento (questo fattore torna spesso, c’è già in Betz, anche se who cares about Betz?).

 

Ora, il trucco vero è che la storia di Betz è solo fumo negli occhi: un aquilone, che comunque può fare un lavoro che produce energia, non ha speranza di fare più di tanto perché l’area spazzata non è un concetto fisico – l’imbroglio vero è soprattutto lì: i KiteGenari farlocchi aumentano a dismisura sia l’area veramente utile che l’enhancement factor.

Utilizzando due fattori moltiplicativi arbitrari si arriva dove si vuole.

Il Kite assomiglia a una pala di un rotore fermo o quasi. Nel caso del Kite, il vento è perturbato e rallentato solo nel Kite e in un suo piccolo intorno. Nel resto della superficie “spazzata” dal Kite, il vento è del tutto imperturbato. . un po’ come se avessi un rotore eolico con una sola pala, strettissima, e che gira pianissimo, Chi si sognerebbe mai di applicare la legge di Betz all’area spazzata da un rotore del genere?

E se il rotore eolico con una sola pala, strettissima, e che gira pianissimo,lo metto su un carrello che trascino in giro per l’anello di un’arena? Chi si sognerebbe di applicare la legge di Betz addirittura all’intero circuito che percorro? E chi mai vorrebbe sostenere che, anzi, potrei prendere tutto il percorso e da esso estrarre persino di più di quel che limiterebbe Betz?

Ci vogliono bufali di razza, per fare certe mozzarelle